FRM学习资料十一:金融风险和金融数学PPT讲座讲义

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金融风险管理师(FRM)学习资料:金融风险和金融数学PPT讲座讲义

FRM学习资料十:金融风险和金融数学PPT讲座讲义

金融风险管理师(FRM)学习资料:金融风险和金融数学PPT讲座讲义

金融风险和金融数学

什么是风险和什么是金融风险?
风险是可能发生的危险。
风险=不确定性。
金融风险就是金融中可能发生的危险。
换句话说,就是可能发生的钱财损失。
金融风险=金融中的不确定性。
金融风险包括市场风险,信用风险、流动性风险,营运风险等等。
什么是金融经济学和金融数学?
金融经济学与其他经济学科的主要区别就在于市场环境的不确定性。
金融经济学主要研究不确定性市场环境下的金融商品的定价理论。
金融数学就是金融商品定价的数学理论。
因此,也可以说,金融经济学以至金融数学都是研究金融风险的理论。
研究不确定性的数学-概率论
直到现在为止,研究不确定性的最主要的数学学科是概率论 (其他还有:模糊数学、混沌理论、集值分析、微分包含等)。
概率论几乎可以说是起源于研究“金融风险”的。那是一种简单的“金融风险”问题:赌博。
概率论的早期历史
Blaise Pascal (1623-1662)
Pascal - Fermat 问题
二人掷骰子赌博,先掷满 5 次双 6 点者赢。有一次,A 掷满 4 次双 6 点,B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚,两人无意再赌下去,那么该怎样分割赌注?
答案:A 得 3/4, B 得 1/4.
结论:应该用数学期望来定价。
概率论的早期历史 (续)
Jacob Bernoulli (1654-1705)
“圣彼德堡悖论”问题
有这样一场赌博:第一次赢得 1 元,第一次输第二次赢得 2 元,前两次输第三次赢得 4 元,-一般情形为前 n 次输,第 n+1 次赢得 元。问:应先付多少钱,才能使这场赌博是“公平”的?
如果用数学期望来定价,答案将是无穷!
“圣彼德堡悖论”
1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。

期望效用函数
1944 年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。
用期望效用函数来刻划风险
所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数,它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益,那就是比较“钱的函数的数学期望”。
假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会,那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
有风险与无风险之间的比较
机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的利益比较就是比较
u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y)
之间的大小。如果它们相等,表示对风险中性 (不在乎);一般取 <,表示对风险厌恶。取 > 表示对风险爱好。
Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结为函数 u 的凸性的比较。它的程度可用
-u’’/u’ 来度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
期望效用函数的争论
期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953)。
由此引起许多非期望效用函数的研究,涉及许多古怪的数学。但都不很成功。
Knight 的 《风险、不确定性与利润》(1921)
Knight 不承认“风险=不确定性”,提出“风险”是有概率分布的随机性,而“不确定性”是不可能有概率分布的随机性。
Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别。
Arrow-Debreu 的不确定状态
1954 年 Arrow 和Debreu 发表一般经济均衡的严格数学公理化证明。
他们在处理不确定性时采用Knight 的观点。光有状态,没有概率。
Arrow (1953) 《证券价值对于风险的最优配置的作用》
Arrow 的文章被认为是第一篇用数学模型论证证券如何分散金融风险的研究论文。
“华尔街的革命”

‘在华尔街发生的两次革命已经开创了在金融界需要研究型的数学家的专长。第一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数量方法,它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文《证券组合选择》。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请教了Robert Merton)发表对期权定价问题的解答。Black-Scholes 公式给金融行业带来了现代鞅和随机分析的方法;这种方法使投资银行能够对无穷无尽的“衍生证券”进行生产、定价和套期保值。-’

Markowitz 证券组合选择问题
一个投资者同时在许多种证券上投资,那么应该如何选择各种证券的投资比例,使得投资收益最大,风险最小。
Markowitz 把证券的收益率看作一个随机变量,而收益定义为这个随机变量的数学期望,风险则定义为这个随机变量的标准差。
如果把各证券的投资比例看作变量,问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。

Markowitz 问题的数学形式
Markowitz 理论的基本结论
对每一固定收益都求出其最小风险,那么在风险-收益平面上,就可画出一条曲线,它称为组合前沿。
在证券允许卖空的条件下,组合前沿是一条双曲线的一支;在证券不允许卖空的条件下,组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说,不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。
风险-收益图 和 有效前沿
风险-收益图 和 有效前沿
沪深两市的风险收益图
Markowitz 的基本思想
互相关的概念

Tobin 的二基金分离定理
由于 Markowitz 问题是线性问题,因而两个有不同收益的解的线性组合就可生成整个组合前沿。
这两个特殊的组合可以看成“基金”。这个结果称为二基金分离定理。它是Tobin (1958) 首先提出的。
资本资产定价模型 (CAPM)
资本资产定价模型 (CAPM)
各种证券的风险-收益图
无套利假设
无套利假设和 B-S 期权定价理论

Black-Scholes 期权定价公式
Black-Scholes 期权定价公式
Black-Scholes 模型和方程式
Black-Scholes 期权定价公式
Black-Scholes 公式计算软件
用期权对冲股价风险
合成的投资组合
Black-Scholes-Merton 的基本思想
“没有免费的午餐” (无套利假设)。
无套利假设可用来为金融产品,尤其是为金融衍生产品定价。
如果一个投资组合使所有市场风险都被对冲,那么它就相当于无风险证券 (国库券)。

Black-Scholes-Merton 理论 的历史意义
The Black-Scholes option pricing model established the everyday use of mathematical models as essential tools in the world of finance, both in the classroom and on the trading floor.
无论是在教室里还是在交易大厅中,Black-Sholes 期权定价模型都作为实质性的工具,确立了数学模型在金融界的日常运用。
历史意义 (续)
The model offers a methodology to predict the seemingly unpredictable by using the lessons of complex mathematics and probability theory to forecast stock valuations, making it possible to successfully manage risk in the financial market.
模型提供一种方法论,它用复杂的数学和概率论来预测看起来是不可预知的股票估值,使得有可能来成功地管理金融市场中的风险。

历史意义 (续)
In less than thirty years it has changed the course of economic theory and financial practice.
在不到三十年的时间里,它已经改变了经济理论的课程和金融实践。


 

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